Le paradoxe de Monty Hall

Considérons le jeu suivant.
Il y a trois portes fermées, et un prix est caché derrière l’une de ces portes au hasard. Un participant choisit une porte, par exemple la porte $1$, sans l’ouvrir.
On note $D_i$ l’événement « le prix se trouve derrière la porte $i$ » pour $i = 1,2,3$.

1. Quelle est la probabilité $P(D_i)$ de l’événement $D_{i}$ pour $i = 1,2,3$ ?

2. Le présentateur, qui sait où le prix se trouve, ouvre l’une des deux portes qui n’a pas été choisie et où le prix ne se trouve pas. Soit $A_2$ l’événement « le présentateur ouvre la porte $2$ » et $A_3$ l’événement « le présentateur ouvre la porte $3$ ». Calculez les probabilités :

$$P(A_2 \mid D_1), \; P(A_2 \mid D_2), \; P(A_2 \mid D_3), \; P(A_3 \mid D_1), \; P(A_3 \mid D_2), \; P(A_3 \mid D_3).$$

3. Déduire $P(D_1 \mid A_2)$ et $P(D_3 \mid A_2)$. De même, quelles sont $P(D_1 \mid A_3)$ et $P(D_2 \mid A_3)$?