L’échappatoire de l’infini

Une solution à la question $\bf 1.$ :
(1) Comme $E$ est de dimension infinie, sa sphère unité n’est pas compacte : elle possède une suite $(s_{n})$ n’ayant pas de valeur d’adhérence.
(2) Soient $p,q \in E\setminus K$. Rejoignons $p$ et $q$ par un chemin tracé dans $E\setminus K$.
(a) Si $\left[ p \; ; \; q \right] \subset E\setminus K$, le chemin $\left[0 \; ; \; 1 \right] \ni t \mapsto p +t\left(q-p\right)$ convient, ce par définition de $[p\; ; \; q]$
(b) Sinon, puisque $E\setminus K$ est ouvert, on peut trouver un $r>0$ tel que $B(p,r)\cup B(q,r) \subset E\setminus K$.

($B(p,r)$ désigne la boule ouverte de centre $p$ et de rayon $r$ pour la norme sur $E$, etc.)

Montrons
$$\exists N \in \mathbb{N}\quad : \quad [p+rs_{N}\; ; \; q+rs_{N}] \subset E\setminus K\quad\quad (\ast)$$ En effet dans le cas contraire, on aurait
$$\forall n \in \mathbb{N},\quad \exists 0\leq t_n\leq 1 \quad : \quad p+rs_n+(q-p)t_n \in K$$ Mais alors les suites $\left(t_{n}\right)\in \left[0\; ; \;1\right]^{\mathbb{N}}$ et $\left(p+rs_n+t_n(q-p)\right) \in K^{\mathbb{N}}$ vivent toutes deux dans des parties compactes de leur espace ambient. Quitte à extraire deux fois, on peut trouver une extractrice $\varphi$ telle que $(t_{\varphi(n)})$ et $\left(p+rs_\varphi(n)+t_{\varphi(n)}(q-p)\right)$ convergent.
Or pour tout entier $n$,
$$s_{\varphi(n)}=\dfrac{1}{r} \left[ \underset{\text{Converge}}{\underbrace{\left(p+rs_\varphi(n)+t_{\varphi(n)}(q-p)\right)}}- \underset{\text{Converge}}{\underbrace{ t_{\varphi(n)}\left(p+\left(q-p\right)\right) }}\right]$$ Cela contredit la propriété de la suite $(s_{n})$. La propriété $(\ast)$ est donc démontrée.
Conclusion du cas (b) : on a construit un segment évitant $K$ et rejoignant un élément $p_{N}$ de la partie convexe $B(p,r)$ à un élément $q_{N}$ de la partie convexe $B(q,r)$. On rejoint $p$ à $q$ en évitant $K$ en concaténant les segments $[p\; ; \; p_{N}]$, $[p_{N}\; ; \; q_{N}]$ et $[q_{N}\; ; \; q]$.

Ceci termine la preuve globale.

Remarque : la propriété $(\ast)$ est en fait vérifiée par une infinité de $N$ (examiner la preuve ci-dessus) : il existe une infinité de translatés du segment $[p\; ; \; q]$ qui ne rencontrent pas $K$ !

Une solution à la question $\bf 2.$ :
En dimension finie, $\overline{B\left(0,2\right)}\setminus B\left(0,1\right)$ est compacte, et son complémentaire ne l’est pas. Un dessin en dimension 1 ou 2 aide à s’en rendre compte.