Les compacts faibles sont bornés

Soit $K$ un compact faible de $X$. Soit $j_{X} : X \longrightarrow X^{**}$ l’injection canonique de $X$ vers sont bidual. Comme $K$ est un compact préfaible, si $f \in X^{*}$, $f(K)$ est borné. Autrement dit, la famille $j_{X}(K)$ est ponctuellement bornée. Comme $X^{*}$ est un espace de Banach, on peut appliquer le théorème de Banach-Steinhaus, et trouver une constante $M > 0$ telle que $j_{X}(K)$ est borné en norme par $M$. Comme $j_{X}$ est une isométrie, $K$ est aussi borné en norme par $M$.