Les formes linéaires faiblement continues sur le dual

Soit $X$ un espace normé et $\phi \in X^{**}$ . On note $j_{X}$ l’injection canonique de $X$ dans $X^{**}$ . On suppose que $\phi$ est préfaiblement continue sur $X^{*}$ . Montrer qu’il existe $x \in X$ tel que $\phi = j_{X}(x)$ .

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem0 likes

Hints

Hint 1

Open this only if you want a small nudge before looking at the solutions.

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by La chouette aveugle

Discussions0 useful votes

Puisque $\phi$ est préfaiblement continue, si $U$ est un voisinage de $0$ dans $\mathbb{R}$ , il existe $(x_1,\,...\,,\,x_n) \in X^{n}$ et $\delta >0$ tels que pour tout $f \in X^{*}$ tel que pour tout $1 \leq i \leq n$ , $\lvert f(x_{i}) \rvert < \delta$ , $\phi(f) \in U$ . Soit $\varepsilon > 0$ et $U = ]-\varepsilon, \varepsilon [$ . Soit $f$ tel que pour tout $1 \leq i \leq n$ , $f(x_{i}) = 0$ . Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ , $(\lambda f)(x_{i}) = 0$ , ainsi $\phi(\lambda f) = \lambda \phi(f) \in ]-\varepsilon, \varepsilon [$ . On déduit que nécessairement $\phi(f) = 0$ . Ainsi, $\bigcap_{1 \leq i \leq n} \ker(j_{X}(x_{i})) \subset \ker(\phi)$ , et donc $\phi \in \mathrm{Im}(j_{X})$ .

Report