Les formes linéaires faiblement continues sur le dual

Puisque $\phi$ est préfaiblement continue, si $U$ est un voisinage de $0$ dans $\mathbb{R}$, il existe $(x_1,\,...\,,\,x_n) \in X^{n}$ et $\delta >0$ tels que pour tout $f \in X^{*}$ tel que pour tout $1 \leq i \leq n$, $\lvert f(x_{i}) \rvert < \delta$, $\phi(f) \in U$. Soit $\varepsilon > 0$ et $U = ]-\varepsilon, \varepsilon [$. Soit $f$ tel que pour tout $1 \leq i \leq n$, $f(x_{i}) = 0$. Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $(\lambda f)(x_{i}) = 0$, ainsi $\phi(\lambda f) = \lambda \phi(f) \in ]-\varepsilon, \varepsilon [$. On déduit que nécessairement $\phi(f) = 0$. Ainsi, $\bigcap_{1 \leq i \leq n} \ker(j_{X}(x_{i})) \subset \ker(\phi)$, et donc $\phi \in \mathrm{Im}(j_{X})$.