Les groupes additifs $\mathbb R^{n}$ et $\mathbb R^{m}$ sont isomorphes

Il suffit de montrer que $(\mathbb R,+)$ et $(\mathbb R^{m},+)$ sont isomorphes pour tout $m\ge 1$.

Considérons $\mathbb R$ comme un espace vectoriel sur $\mathbb Q$ et prenons $B\subset\mathbb R$ une base. Notons que $B$ est forcément indénombrable et existe par un théorème dont la preuve repose sur l’axiome du choix.

Remarquons alors que
$$B'=\{(b,0,\ldots,0)\in\mathbb R^{m}\mid b\in B\}\cup\{(0,b,0,\ldots,0)\in\mathbb R^{m}\mid b\in B\}\cup\cdots\cup\{(0,\ldots,0,b)\in\mathbb R^{m}\mid b\in B\}$$est une base de $\mathbb R^{m}$ en tant que $\mathbb Q$-espace vectoriel. En effet, l’indépendance linéaire suit de celle de $B$ et $B'$ génère $R^{m}$.

Or, $|B'|=|B\times\{1,\ldots,m\}|=|B|$ car $|B|$ est infini. Il existe donc une bijection $g:B\to B'$. Soit alors $f:\mathbb R\to\mathbb R^{m}$ définie par $f(0)=0$ et $f(q_{1}b_{1}+\cdots+q_{k}b_{k})=q_{1}g(b_{1})+\cdots+q_{k}g(b_{k})$ pour tout ensemble fini $\{b_{1},\ldots,b_{k}\}\subset B$ et $q_{1},\ldots,q_{k}\in\mathbb Q\setminus\{0\}$. Il est aisé de vérifier que $f$ est une bijection et que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y\in\mathbb R$.