Les quotients de $\ell^1{}$

Soit $(d_{n})_{n}$ une suite dense de $B_{X}$. On considère l’application $\pi : \ell^{1} \longrightarrow X$ définie par $\pi(x) : x \mapsto \sum_{n \geq 0} x(n)d_{n}$. On constate dans un premier temps que $\pi$ est bien définie puisque la série $\sum_{n \geq 0}x_{n}d_{n}$ est normalement convergente et que $X$ est un espace de Banach. La linéarité de $\pi$ est claire, et $\lVert \pi(x) \rVert \leq \lVert x \rVert_{1}$, ce qui montre la continuité de $\pi$.

Comme $(d_{n})_{n}$ est dense dans $B_{X}$, si $y \in B_{X}$ est distinct de $d_{n}$ pour tout $n$, il existe $d_{n_{0}}$ qui est à distance $< 1/2$ de $y$. Ainsi $2(y - d_{n_{0}}) \in B_{X}$, et il existe $d_{n_{1}}$ qui est à distance $< 1/2$ de $2(y-d_{n_{0}})$, et $\lVert y - d_{n_{0}}-2^{-1}d_{n_{1}} \rVert < 1/4$. Ainsi $4(y - d_{n_{1}}-2^{-1}d_{n_{2}}) \in B_{X}$, et il existe $d_{n_{2}}$ qui est à distance $< 1/2$ de $4(y - d_{n_{0}}-2^{-1}d_{n_{1}})$, d’où $\lVert y - d_{n_{0}} - 2^{-1}d_{n_{1}} - 2^{-2}d_{n_{2}} \rVert < 1/8$. On peut s’arranger pour que les $d_{n_{i}}$ soient distincts deux-à-deux. Par récurrence, on construit une sous-suite $(d_{n_{k}})_{k}$ telle que pour tout $l \geq 0$, $\lVert y - \sum_{k = 0}^{l}2^{-k}d_{n_{k}}\rVert < 2^{-l-1}$. Comme $x : n \mapsto 2^{-k}$ si $n = n_{k}$ et $0$ sinon est $\ell^{1}$, et que par passage à la limite $y = \pi(x)$, on déduit que l’image de $\pi$ contient la boule unité de $X$, c’est-à-dire que $\pi$ est ouverte, donc que $\pi$ est surjective.

Comme $\pi$ est continue, $\ker(\pi)$ est fermé, et $\ell^{1}/\ker(\pi)$ est un espace de Banach. Comme $\pi$ passe au quotient, $\pi$ induit une application linéaire injective $\overline{\pi} : \ell^{1}/\ker(\pi) \longrightarrow X$. Pour tout $y \in \ker(\pi)$, $\lVert \pi(x) \rVert = \lVert\pi(x-y) \rVert \leq \rVert x-y \rVert_{1}$, on déduit que$\lVert \overline{\pi}(\overline{x}) \rVert = \lVert \pi(x) \rVert \leq \lVert \overline{x} \rVert$, et donc que $\overline{\pi}$ est continue et injective. Comme $\pi$ est surjective, $\overline{\pi}$ est surjective, et induit une bijection linéaire continue de $\ell^{1}/\ker(\pi)$ vers $X$, et on conclut par le théorème d’isomorphisme de Banach.