Limite d’une somme de fonctions périodiques

Voici une autre solution. Soit $l$ la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f(x) + g(x)$. Quitte à translater la fonction $g$ par $l$ sans changer $T_{2}$, on peut supposer que $l = 0$. Soit $x \in \mathbb{R}$. Comme $T_{1}$ et $T_{2}$ sont non nulles, on a alors

$\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}} f(x+n(T_{1}+T_{2}))+g(x+n(T_{1}+T_{2})) = 0$.

Or cette limite s’écrit aussi

$(*)\,\,\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}} f(x+nT_{2})+g(x+nT_{1}) = 0$.

Comme

$\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}f(x+nT_{2}) + g(x+nT_{2}) = 0$,

on déduit que $\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}f(x+nT_{2}) = -g(x)$. De même, on déduit que $\underset{n \rightarrow \infty}{\mathrm{lim}}g(x+nT_{1}) = -f(x)$. En injectant ces nouvelles égalités dans $(*)$, on trouve que $-f(x)-g(x) = 0$, donc que $f(x)+g(x) = 0$, d’où que $f+g$ est constante.