Malus un jour, malus toujours

Une compagnie d’assurances automobiles utilise un système de bonus-malus comportant quatre classes : 1, 2, 3 et 4.

Au début de chaque année $t$, chaque assuré se voit attribuer une classe $c_{a,t}\in\{1,2,3,4\}$, déterminée par sa classe de l’année précédente et par le nombre de sinistres $s_{a,t-1}$ qu’il a causés durant cette année.

La règle d’évolution est la suivante :

$$c_{a,t}= \begin{cases} \max(1,c_{a,t-1}-1) & \text{si } s_{a,t-1}=0\\ \min(4,c_{a,t-1}+s_{a,t-1}) & \text{si } s_{a,t-1}>0 \end{cases}$$

Chaque année, l’assuré paie une prime égale à $c_{a,t}K$, où $K$ représente la prime de base.

L’évolution des classes est modélisée par une chaîne de Markov dont la matrice de transition est :

$$P=\begin{pmatrix} 0.9 & 0.05 & 0.03 & 0.02\\ 0.8 & 0 & 0.16 & 0.04\\ 0 & 0.75 & 0 & 0.25\\ 0 & 0 & 0.6 & 0.4 \end{pmatrix}$$

a) Classifier les états, les classes de communication et la chaîne de Markov associée à ce processus.

b) La compagnie compte 1 000 000 d’assurés et estime ses dépenses annuelles à 1 milliard d’euros.

Déterminer une estimation de la prime de base (K) permettant d’équilibrer son budget, en utilisant la distribution stationnaire de la chaîne de Markov.