Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/ArithmeticUnreviewed

Nombres premiers de la forme 3n+1

by Venus2·
40
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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  1. Lemme. Soit a∈3N∗a\in 3\N^{*} et P:=X2+X+1∈N[X]P:=X^{2}+X+1\in \N[X]. Montrer que tout nombre premier pp divisant P(a)P(a) vérifie que pp est congru à 1 modulo 3 (on pourra examiner l’ordre de aa dans le groupe multiplicatif (Z/pZ)∗(\Z/p\Z)^{{*}})

  2. Soit EE l’ensemble des nombres premiers de la forme 3n+13n+1 où n∈Nn\in \N. Montrer que EE est non vide puis que EE n’est pas un ensemble de cardinal fini

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