Noyau et image d’un endomorphisme et de son carré.

1. Soit $x\in Ker(f)\Rightarrow f(x)=0$, d’où $f(f(x))=f^{2}(x) =0 \Leftrightarrow x\in Ker(f^{2})$. C’est à dire $Ker(f) \subset Ker(f^{2})$

Soit $y\in Im(f^{2})\Rightarrow \exist x \in E f(f(x))=y$, or $f(x)\in E$, d’où $y \in Im(f)$. C’est à dire $Im(f^{2})\subset Im(f)$

2. Procédons par double implication :

   $\boxed {\Rightarrow}$ Supposons que $ker(f^{2})=ker(f)$. Par théorème du rang on a :

$$\begin{cases} dim E = dim(Im(f))+dim(ker(f))\\ dim E = dim(Im(f^{2}))+dim(ker(f^{2})) \end{cases}$$

Donc, $dim(Im(f))+dim(ker(f))=dim(Im(f^{2}))+dim(ker(f^{2})$. Or, d’après l’hypothèse : $dim(Ker(f))=dim(Ker(f^{2})$. D’où $dim(Im(f^{2}))=dim(Im(f))$.

On a donc inclusion (d’après 1.) et égalité de dimension, donc égalité des SEV, ie, $Im(f^{2})=Im(f)$
$\boxed {\Leftarrow}$ Supposons que $Im(f^{2})=Im(f)$. Par théorème du rang on a :
$$\begin{cases} dim E = dim(Im(f))+dim(ker(f))\\ dim E = dim(Im(f^{2}))+dim(ker(f^{2})) \end{cases}$$

Donc, $dim(Im(f))+dim(ker(f))=dim(Im(f^{2}))+dim(ker(f^{2})$. Or, d’après l’hypothèse : $dim(Im(f))=dim(Im(f^{2})$. D’où $dim(Ker(f^{2}))=dim(ker(f))$.

On a donc inclusion (d’après 1.) et égalité de dimension, donc égalité des SEV, ie, $Ker(f^{2})=Ker(f)$