Ô $\pi$, conte-moi la nature de la série...

Commençons par un grand classique :

1. Montrer que pour tout $\alpha\in\R\setminus\Q$, il existe une infinité de couples $(p,q)\in\Z\times\N^{*}$, avec $p$ et $q$ premiers entre-eux, tel que
   $$|\alpha-\dfrac{p}{q}|\leqslant\dfrac{1}{q^{2}}.$$Ce résultat nous vient de Dirichlet, et est un des premiers résultats à connaître en approximation diophantienne. Cela motive la définition d’exposant d’irrationalité : pour tout $x\in\R$, on définit son exposant d’irrationalité par
   $$\mu(x):=\sup\left\{\nu>0\text{ tel que } 0<|\alpha-\dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{q^{\nu}} \text{ pour une \textit{infinité} de couples premiers entre-eux }(p,q)\in\Z\times\N^{*}\right\}.$$
2. Déduire de la première question que, pour tout $x\in\R\setminus\Q$, $\mu(x)\geqslant2$.
   Enonçons le théorème suivant, dû à Roth :
   Soit $\alpha\in\R$. Supposons que, pour tout $\varepsilon>0$, l’inéquation d’inconnus $(p,q)$ premiers entre-eux $0<|\alpha-\dfrac{p}{q}|\leqslant\dfrac{1}{q^{2+\varepsilon}}$ possède une infinité de solutions. Alors, $\alpha$ est transcendant.
3. Déduire du théorème de Roth que, lorsque $x$ est un nombre irrationnel algébrique, alors $\mu(x)=2$.
   Attention, il existe bien des nombres transcendants $x$ qui vérifient $\mu(x)=2$ !
4. Montrer que $\mu(e)=2$. Je vous conseille vivement de consulter l’indication.
   Lorsque OpenAI a publié, le 6 octobre 2026, sa liste de 377 problèmes qui auraient été résolus par leur module ChatGPT, parmi la liste, il y a $\mu(\pi)=2$. Est-ce que la preuve proposée va tenir la route ? Nous verrons bien. En attendant...
5. En supposant que $\mu(\pi)=2$, montrer que la série
   $$\sum_{n\geqslant1}\dfrac{1}{n^{3}\sin^{2}(n)}$$converge.