Ordre des éléments de $\text{SL}_{2}(\mathbb F_{3})$

Ok Visitor mais pourquoi invoquer l’algèbre linéaire quand on peut faire sans, $\mathrm{SL}(2,3)$ jouti de la propriété de se réaliser comme une extension centrale de $A_{4}$ par $C_{2}$ ! 🤠

L’action naturelle de $\mathrm{SL}(2,3)$ sur la droite projective nous donne un morphisme à valeurs dans $S_{4}$, de noyau $Z(\mathrm{SL}(2,3))$, d’où par unicité du sous-groupe d’indice $2$ de $S_{4}$, l’isomorphisme $\mathrm{PSL}(2,3) \simeq A_{4}$.

L’action de $\mathrm{SL}(2,3)$ sur l’ensemble des vecteurs non nuls de $\mathbb F_{3}^{2}$ est transitive, le stabilisateur d’un point est donc un sous-groupe d’ordre $3$, il s’ensuit qu’un élément d’ordre $2$ stabilise personne, sauf le vecteur nul.

Pour $u$ d’ordre $2$, pour tout $x,$ on a $u(x + u(x)) = u(x) + u^{2}(x) = x + u(x)$, d’où $u$ stabilise $x + u(x)$, et donc $x + u(x) = 0$, i.e. $u(x) = -x$, ce qui prouve l’unicité de l’élément $-I_{2}$.

Dès lors, si $H$ est un sous-groupe de $\mathrm{SL}(2,3)$ d’ordre pair, par Cauchy, il contient un élément d’ordre $2$, qui est $-I_{2}$ par unicité. Or, les sous-groupes contenant $\langle -I_{2} \rangle$ sont en bijection avec les sous-groupes de $\mathrm{PSL}(2,3)$, et l’ordre est doublé (Théorème de correspondance), les sous-groupes d’ordre pair de $\mathrm{SL}(2,3)$ ont donc pour ordre $2,4,6$ ou $8$.

Le sous-groupe $H$ d’ordre $8$ étant unique, (en tant que pré-image de l’unique sous-groupe d’ordre $4$ de $\mathrm{PSL}(2,3)$), il n’est certainement pas cyclique, ni même d’exposant $2$ par unicité de l’élément d’ordre $2$ de $\mathrm{SL}(2,3)$, il ne contient donc pas d’élément d’ordre $8$, mais contient un élément d’ordre $4$. On peut directement dire que $H \simeq \mathbb H_{8}$, c’est même son sous-groupe dérivé.

De même, par unicité d’un élément d’ordre $2$ de $\mathrm{SL}(2,3)$, un sous-groupe d’ordre $6$ de $\mathrm{SL}(2,3)$ est nécessairement cyclique, d’où l’existence d’un élément d’ordre $6$. On aurait pu sinon considérer le produit de $-I_{2}$ avec un élément d’ordre $3$ quelconque, dont on a l’existence par Cauchy, ce qui conclut puisque $3$ est le seul nombre impair $> 1$ qui divise $24 = |\mathrm{SL}(2,3)|$.

Bon au final on a dressé l’ordre possible pour un élément de $\mathrm{SL}(2,3)$, et l’ordre possible pour un sous-groupe de $\mathrm{SL}(2,3)$, et même sa classe d’isomorphie.