Preuve pas à pas du théorème spectrale

Soit $A \in S_{n}(\mathbb{R})$ et $u$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ tel que $Mat_{B}(u)=A$ où $B$ est la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$.

1. Démontrer que tout endomorphisme de $\mathbb R^{n}$ stabilise au moins un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^{n}$ de dimension $1$ ou $2$.
2. Démontrer que $\mathbb{R}^{n}$ peut s’écrire comme somme orthogonale de sous-espaces vectoriel stabilisé par $u$.
3. Démontrer le théorème spectral en dimension 2.
4. En déduire le théorème spectral^EN en dimension quelconque.