Puissances d’entiers

quelques résultats préliminaires que je ne démontrerai pas.
Résultat. Lien entre dérivations
Soit $f$ de classe $C^{\infty}$ sur $I:=]0;+\infty[$ et soit $\Delta$ l’opérateur defini par : $\forall g$ définie sur $I$, et $\forall x\in I, \Delta(g)(x):=g(x+1)-g(x)$
Alors $\forall x\in I, \Delta(f)(x)=\int_{0}^{1}f'(x+t_1)dt$ puis par récurrence (la régularité de $f$ permet d’utiliser Fubini et la dérivation sous le signe intégral) $\forall p\in \N^{*}, \forall x\in I$, on a
$\Delta^{p}(f)(x)=\int_{[0;1]^p} f^{(p)}(x+t_1+...+t_p)dt_1dt_2...dt_p$

dans la suite, on suppose $\alpha$ non entier et soit alors $p:=E(\alpha)+1$. On pose $g$ définie sur I par $\forall x\in I, g(x):=x^{\alpha}$. On verifie que $g^{(p)}>0$ sur $]0;+\infty[$, que $g^{(p+1)}<0$ sur $]0;+\infty[$ donc $g^{(p)}$ est strictement déroissante sur $I$, que $g^{(p)}(x+p)\sim g^{(p)}(x)$ au voisinage de l’infini. La positivité de l’intégrale et la monotonie de $g^{(p)}$ donnent $\forall x>0, g^{(p)}(x+p)\le \Delta^p(g)(x)\le g^{(p)}(x)$ puis que $g^{(p)}(x)\sim \Delta^{p}(g)(x)$ au voisinage de l’infini. On vérifie enfin que, par positivité de l’intégrale, que quel que soit $x\in I$, $\Delta^{p}(g)>0$ et que $g^{(p)}(x)$ tend vers 0 à l’infini donc son équivalent aussi c’est-à-dire $\Delta^{p}(g)(x)$ tend vers 0 à l’infini. Il est facile de vérifier que quel que soit $n$, $(\Delta^{p}(g)(n))$ est une suite à valeurs entières. Ainsi c’est une suite d’entiers strictement positifs et qui converge vers 0. Contradiction. Donc l’hypothèse sur $\alpha$ est fausse. Par conséquent $\alpha$ est entier, ce qui achève la preuve.