Quand un groupe fini a exactement deux carrés

Soit $G$ un groupe fini. On note $G^{2}=\{g^{2}\mid g\in G\}$ l’ensemble des carrés de $G$.
On suppose que $G^{2}$ contient exactement deux éléments, c’est-à-dire que $G$ a exactement deux carrés.

1. Montrer que $\forall g\in G,$ l’ordre de $g$ divise $4$.
2. Démontrer que le groupe dérivé de $G$ est trivial ou cyclique d’ordre $2$.
3. Donner un exemple de groupe abélien fini ayant exactement deux carrés.
4. Donner un exemple de groupe non abélien fini ayant exactement deux carrés.