Quand un groupe fini a exactement deux carrés

Soit $G$ un groupe fini. On note $G^{2}=\{g^{2}\mid g\in G\}$ l’ensemble des carrés de $G$ .
On suppose que $G^{2}$ contient exactement deux éléments, c’est-à-dire que $G$ a exactement deux carrés.

Montrer que pour tout $g\in G,$ l’ordre de $g$ divise $4$ .
Démontrer que le groupe dérivé de $G$ est trivial ou cyclique d’ordre $2$ .
Donner un exemple de groupe abélien fini ayant exactement deux carrés.
Donner un exemple de groupe non abélien fini ayant exactement deux carrés.

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Solution by Étienne86

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L'élément neutre $1$ est toujours un carré, donc l’ensemble $G^{2}$ est de la forme $\{1, a\}$ avec $a\neq 1$ .
Mais $a^{2}\in G^{2}$ et $a^{2}\neq a$ car $a\neq 1$ , donc $a^{2}=1$ .
Ainsi, si $g\in G$ , soit $g^{2}=1$ et $g$ est d’ordre $2$ , soit $g^{2}=a$ d’où $g^{4}=a^{2}=1$ et $g$ est d’ordre $4$ .
Pour $x,y\in G$ , on a $[x, y]=xyx^{-1}y^{-1}=x^{2}x^{-1}yx^{-1}yy^{-2}=x^{2}(x^{-1}y)^{2}(y^{-1})^{2}$ . Ainsi, comme $a^{2}=1$ , $[x, y]\in\{1, a\}$ .
On en déduit que $D(G)$ est un sous-groupe du sous-groupe engendré par $a$ , qui est isomorphe à $\Z/2\Z$ car $a$ est d’ordre $2$ .
Le groupe additif $\Z/4\Z$ convient. En effet, $2\times 0=2\times 2=0$ , et $2\times 1=2\times 3=2$ dans $\Z/4\Z$ (les deux carrés sont $0$ et $2$ ).
Le groupe des quaternions à $8$ éléments convient.
En effet, ce groupe contient $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ et on a les relations $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ , donc les deux seuls carrés sont $1$ et $-1$ .
On en déduit, si on ne le savait pas déjà, que le groupe dérivé du groupe des quaternions est $\{\pm 1\}$ .

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