Quatre entiers consécutifs

L’astuce est de considérer $m^{2}-1 = (m-1)(m+1)$ et de trouver $m$ en fonction de $n$.

Après quelques essais, on se rend compte que $n(n+3) = n^{2}+3n$ et $(n+1)(n+2)=n^{2} + 3n+2$ que l’on peut écrire sous la forme $(n^{2}+3n+1)-1$ et $(n^{2}+3n+1)+1$.

Ainsi on peut écrire $n(n+1)(n+2)(n+3) = ((n^{2}+3n+1)-1)((n^{2}+3n+1)+1) = (m-1)(m+1) = m^{2}-1$ avec $m = n^{2} + 3n + 1$.

Cas concret : $10\times 11\times 12\times 13 = 17160 = 131^2- 1 = (10^{2}+3\times 10 + 1)^{2} - 1$.