Quel est le point aveugle d’une salle de contrôle ?

On identifie les points $A$, $B$ et $C$ à leurs affixes complexes $a$, $b$ et $c$. Le point $M$, d’affixe $z$, minimise l’exposition définie par $(|z - a| |z - b| |z - c|)^{-1}$. Autrement dit, $M$ maximise $|z - a| |z - b| |z - c|$ et puisque la fonction $x \mapsto \ln(x^{2})$ est croissante sur $\mathbb{R}_{+}$, $M$ maximise aussi $\ln |z - a|^{2} + \ln |z - b|^{2} + \ln |z - c|^{2}$. En mettant la dérivée de cette dernière quantité à zéro, on obtient la condition
$$\frac{z - a}{|z - a|^{2}}+\frac{z - b}{|z - b|^{2}}+\frac{z - c}{|z - c|^{2}} = 0.$$En utilisant le fait que $|z|^{2} = \bar{z} z$, cette condition se réécrit
$$\frac{1}{z - a}+\frac{1}{z-b}+\frac{1}{z-c} = 0,$$où on a pris la partie conjuguée. On reconnaît la dérivée logarithmique du polynôme $P(z) = (z - a) (z - b) (z - c)$. La condition se réécrit $P'(z) / P(z) = 0$, donc $z$ est une racine de $P'$. Dans le cas général, il y a donc deux points qui minimisent l’exposition. D’après le théorème de Marden, ces deux points sont les foyers de l’ellipse de Steiner inscrite au triangle $ABC$. Le calcul de $P'$ donne $3 z^{2} - 2 (a + b + c) z + (b c + a c + a b)$, donc $z$ est de la forme
$$z = \frac{a + b + c \pm \sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (b c + a c + a b)}}{3}.$$