Racines réelles et dérivées de polynôme

Utiliser le théorème de Rolle et le fait que, si $a$ est une racine de $P$ d’ordre $p$, alors il s’agit d’une racine de $P'$ d’ordre $p-1$ donc si $a_{1}$,...,$a_{m}$ sont des racines avec des multiplicités $n_{1}$,...,$n_{m}$, nous avons $m-1$ racines pour $P'$ qui ne sont pas celles de $P$ avec Rolle, et $n_{i}-1$ pour chaque racine $a_{i}$ de $P$, soit au total
$$\sum_{i=1}^{m} (n_i - 1) + m - 1 = \left( \sum_{i=1}^{m} n_i \right) - 1 = \deg(P) - 1 = \deg(P')$$

Faux. Prendre $P(X) = X^{2}+1$.