Réduction sur $\mathcal{L}(M_n(\mathbb{C}))$

On note $J$ la matrice formée de 1.

On a $f(A)=A\cdot (J-I_n)$
Donc, pour tout polynome $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ : $P(f)(A)=A\cdot P(J-I)$ $(*)$

Or, $J$ est diagonalisable, donc $J-I$ aussi.
Ainsi, $J-I$ admet au moins un polynôme annulateur scindé à racines simples noté $P$.

Une preuve de diagonalisabilité de $J$ repose sur la relation $J^{2}=nJ$, ce qui donne directement le polynôme annulateur scindé simple $X^2-nX$ donc $P=(X+1)^2-n(X+1)$ convient.

Dès lors, $P(f)=0$ d’après $(*)$.
Or $P$ est un polynôme scindé à racines simples donc $f$ est diagonalisable.