Sous-espaces vectoriels engendrés par...

1. Toute matrice $C$ de la base canonique de $\mathcal M_{n}(\R)$ (tous les coefficients nuls sauf l’un d’entre eux) s’écrit $C=(C+I_{n})-I_{n}$ et $C+I_{n}$ est triangulaire à coefficients diagonaux tous non nuls, donc inversible ; $C$ est donc différence de deux matrices inversibles.
   Toute matrice de $\mathcal M_{n}(\R)$ est combili de matrices canoniques, chacune combili de deux matrices inversibles :
   $$vect(GL_{n}(\R))=\mathcal M_{n}(\R)$$

2. Lemme (utile en soi) Toute matrice nilpotente est de trace nulle.

preuve du lemme

a) Toute matrice nilpotente $N$ est (comme toute matrice) semblable à une matrice triangulaire $T$ (dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de $N$) elle aussi nilpotente.
b) pour tout entier $n$, les coefficients diagonaux de $T^{n}$ sont les puissances $n$-ièmes de ceux de $T$ ; si donc l’un d’entre eux est non nul, $T^{n}$ n’est pas nulle, ce qui contredit la nilpotence de $T$. Donc tous les coefficients diagonaux de $T$ sont nuls et $tr(T)=0$.
c) la trace étant invariante par similitude, on a $tr(N)=tr(T)=0$.

donc par linéarité de la trace : $vect(\mathcal N_{n}(\R))\subset \ker tr$.
On sait que $\ker tr$ est de dimension $n^{2}-1$ (noyau d’une forme linéaire) ; il suffit maintenant d’exhiber une famille libre de $n^{2}-1$ matrices nilpotentes pour obtenir l’égalité. Les $n^{2}-n$ matrices canoniques $C_{ij},i\neq j$ dont l’unique coefficient non nul est en dehors de la diagonale et les $n-1$ matrices $N_{k}=C_{11}+C_{1k}-C_{k1}-C_{{kk}},k=2..n$ sont nilpotentes et de trace nulle ; dans toute combinaison linéaire nulle
$$\sum_{i\neq j}a_{ij}C_{ij} + \sum_{k=2}^{n}b_{k}N_{k}=0$$le coefficient en ligne et colonne $k>1$ est $b_{k}=0$ ; on reste avec une combili de matrices canoniques, les coefficients $a_{ij}$ sont aussi nuls. Les $n^{2}-1$ matrices $C_{ij},N_{k}$ forment donc une famille libre de $\mathcal N_{n}(\R)$ et on peut conclure :
$$vect(\mathcal N_{n}(\R))= \ker tr$$rem : les $n^{2}-1$ matrices exhibées sont $2$-nilpotentes. On a donc le résultat plus précis : les matrices $M$ telles que $M^{2}=0$ engendrent $\ker tr$.

3. Il suffit d’engendrer chaque matrice $C_{ij}$ de la base canonique de $\mathcal M_{n}(\R)$ comme combili de matrices orthogonales. Dans les matrices de permutation (tous les coefficients nuls sauf un seul coefficient 1 par ligne et par colonne ; c’est orthogonal par respect des b.o.n), piochons une $P$ telle que $P_{ij}=1$ (on a le choix, il y en a $(n-1)!$...) et on définit $Q=P-2C_{ij}$, qui est aussi orthogonale ( les mêmes coefficients que $P$ sauf $Q_{ij}=-1),$ donc $C_{ij}=\frac12(P-Q)$ :
   $$vect(O_{n}(\R))=\mathcal M_{n}(\R)$$
4. Quand $n=2$, toute matrice de $O^{+}(\R)$ s’écrit $O_{a,b}=\begin{pmatrix}a &b\\-b &a\end{pmatrix}$ : $vect(O^{+}(\R)= vect(O_{1,0},O_{0,1})$ ensemble des matrices de similitudes directes.
   Quand $n\ge3$ est impair, le résultat du 3) suffit car quand $P\in O^{-}$, $-P\in O^{+}$...
   Quand $n\ge4$ est pair, pour $i,j$ fixés, on choisit

• $i'\neq i,j'\neq j$,
• une matrice de permutation $P\in O^{+}$ telle que $P_{ij}=P_{i',j'}=1$, on pose $Q=P-2C_{ij}-2C_{i'j'}$ qui est aussi dans $O^{+}$ (on a changé deux signes),
• une autre matrice de permutation $R\in O^{+}$ telle que $R_{ij}=-R_{i',j'}=1$, on pose $S=R-2C_{ij}+2C_{i'j'}$ qui est aussi dans $O^{+}$ (on a changé deux signes).
  En additionnant les deux définitions de $R$ et $S$, on obtient $C_{ij}=\frac14(P-Q+R-S)$ :
  $$vect(SO_{n}(\R))=\mathcal M_{n}(\R)$$.