Sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z})$

On rappele que l’on a le morphisme de réduction modulo $p$ des coéfficients :
$$\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})\longrightarrow \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$qui induit un morphisme entre $\mathrm{Gl}_{n}(\mathbb{Z})$ et $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ qui est bien définit car toutes les matrices dans $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z})$ ont un déterminant qui vaut $1$ ou $-1$ et car $p\geq 3$. On considère alors la restriction de ce morphisme à $G$. Montrons que celui-ci est injectif. Soit $A$ telle que il existe $C\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ telle que :
$$A=I_{n}+pC$$Remarquons avant que comme $G$ est fini alors :
$$A^{q}=I_{n}$$donc que le polynôme $X^{q}-1$ annule $A$, donc $A$ est diagonalisalbe dans $\mathbb{C}$ et $\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(A)\subset \mathbb{U}_{q}$. Alors $C=\frac{A-I_{n}}{p}$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ car $A$ l’est et ses valeurs propres sont les $\frac{\omega-1}{p}$ avec $\omega\in \mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$. Alors :
$$\left|\frac{w-1}{p}\right|\leq \frac{2}{p}<1$$Donc $C^{k}\underset{k\to+\infty}{\longrightarrow}0$, or $C\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ donc il existe $k>0$ tel que $C^{k}=0$. Donc $C$ est nilpotente mais elle est aussi diagonalisable, donc elle est nulle. Donc $A=I_{n}$, ainsi le morphisme est bien injectif. Donc par l’image par le morphisme de $G$ à le même cardinal que celui-ci et est un sous groupe de $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ donc par le théorème de Lagrange :
$$q \mid (p^{n}-1)(p^{n}-p)\cdots(p^{n}-p^{n-1})$$Ce qui conclut la preuve.