Sous-suite géométrique dans de l’arithmétique

On a $u_k = u_0 + kr$ et $v_k = v_0r^k$, d’où en notant $\phi$ l’extractrice (la fonction $\phi$ telle que $v_k = u_{\phi(k)}$) :
$$u_0 + \phi(k)r = v_0r^k \qquad \forall k \geq 0$$D’où $\phi(k) = v_0r^{k-1} - \frac{u_0}{r}$ pour tout $k \geq 0$. Posons pour tout $k \geq 0$, $\Delta_k = \phi(k+1) - \phi(k)$, alors :

$$\Delta_k = v_0r^{k} - v_0r^{k-1} = v_0(r-1)r^{k-1} \qquad \forall k \geq 0$$ Avec donc $\Delta_1 = v_0(r-1)$ et $\Delta_2 = v_0(r-1)r$, tous deux dans $\mathbb N^*$ (par croissance stricte de $\phi$), d’où $v_0$ est non nul et $r \neq 1$. Il s’ensuit que $r = \frac{\Delta_2}{\Delta_1}$ est rationnel.

De plus, $\Delta_k = \Delta_1 r^{k-1} \in \mathbb N^*$, on en déduit que $r$ est un entier (Autrement, si $r = \frac{a}{b}$, alors $\Delta_1 \frac{a^k}{b^k}$ est entier pour tout $k$ si et seulement si $b^k$ divise $\Delta_1$ pour tout $k$ en supposant $a$ et $b$ premiers entre eux, absurde si $b \neq 1$). \newline

Par hypothèse, il existe $c \in \mathbb N$ non nul tel que $\phi(0) = \frac{v_0-u_0}{r} = c$, donc $v_0 = cr + u_0$.
En substituant, on a alors :
$$\phi(1) = v_0 - \frac{u_0}{r} = cr + u_0(\frac{r-1}{r})$$D’où $u_0\frac{r-1}{r} \in \mathbb N - cr \subset \mathbb Z$.

Réciproquement, si $K = u_0 \frac{r-1}{r} \in \mathbb Z$ et $r \in \mathbb N_{\geq 2}$, il existe alors $m \in \mathbb Z$ tel que $u_0 \frac{r-1}{r} = m$, posons $\phi(k) = u_0 \frac{r^k-1}{r} + Ar^k$ où $A$ est à déterminer (on s’inspire bien sûr de $\phi(k) = v_0r^{k-1} - \frac{u_0}{r} = (\phi(0)r + u_0)r^{k-1} - \frac{u_0}{r} = u_0\frac{r^k-1}{r} + \phi(0)r^k$).

En écrivant $u_0 \frac{r^k - 1}{r} = \left( u_0 \frac{r-1}{r} \right) \cdot \frac{r^k - 1}{r-1} = K \cdot \sum_{i=0}^{k-1} r^i = K \cdot S_k \in \mathbb Z$, on a alors $\phi(k) = K \cdot S_k + Ar^k$ et donc :
$$\Delta_k = \phi(k+1) - \phi(k) = K(S_{k+1} - S_k) + A(r^{k+1}-r^k) = r^n(K + A(r-1)) \in \mathbb Z$$

D’où $\Delta_k > 0$ si et seulement si $A(r-1) > -K$, il suffit alors de poser $A = \max(0, -K + 1)$ pour que $\phi$ soit strictement croissante. Comme de plus $\phi(0) = A \geq 0$, alors $\phi$ est bien à valeurs dans $\mathbb N$. Enfin, on vérifie aisément que $v_n = u_{\phi(n)}$ est bien géométrique de même raison $r$.