Formule pour l’indicatrice d’Euler

On définit l’indicatrice d’Euler comme suit :
$$\forall n \in \mathbb{N} ,\: \varphi (n)=\sum_{k=1}^{n}\mathbb{1}_{pgcd(k,n)=1},$$soit le nombre d’entiers positifs premiers avec $n$ et inférieurs à $n$.

1. Montrer que $\forall (a,b) \in \mathbb{N}^{2}, \: a|b \Rightarrow \varphi(a)| \varphi(b)$.

2. Montrer que $\forall (a,b) \in \mathbb{N}^2, \: pgcd(a,b) =1\Rightarrow\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)$.

3. En déduire que

$$\varphi(n)=n\cdot \prod_{\substack{p|n\\p\in \mathbb{P}}}^n \left(1-\frac{1}{p}\right).$$