$\text{\'Etude asymptotique de la fonction sommatoire de}$ $\mu^{2}$.

Il s’agit d’un exercice de théorie des nombres. On note $*$ le produit de convolution des fonctions multiplicatives, $\delta$ son neutre, $1$ la fonction constante égale à $1$ et enfin $\mu$ la fonction de Möbius.

$\textbf{1.}$ Montrer que $\mu*1=\delta$, puis en déduire en partant de la somme $\sum_{n\geq 1}\frac{\delta(n)}{n^{2}}$, que

$$\sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n^{2}}=\frac{6}{\pi^{2}}.$$(on admettra que $\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$.)

$\textbf{2.}$ On pose $g=\mu^{2}*\mu$.
$\textbf{a.}$ Décrire les valeur de $g$ puis exprimer $\mu^2$ en fonction de $g$.
$\textbf{b.}$ En déduire un équivalent de la fonction sommatoire de $\mu^{2}$, $F(x)=\sum_{n\leq x} \mu^{2}(n)$.