Théorème 90 de Hilbert

On commence par la réciproque. Soit $a\in L$ tel que $a$ puisse s’écrire $\frac{b}{\sigma(b)}$ avec $\sigma\in \mathrm{Gal}(L/K)$. En appliquant la norme, on obtient :
$$\mathcal{N}_{L/K}\left(\frac{b}{\sigma(b)}\right)=\mathcal{N}_{L/K}\left(b\right)\mathcal{N}_{L/K}\left(\frac{1}{\sigma(b)}\right)=\mathcal{N}_{L/K}(b)\left(\mathcal{N}_{L/K}(\sigma(b))\right)^{-1}$$Comme $L/K$ est galoisienne, donc en particulier séparable, la norme de $b$ est le produit de ses $K$-conjugués, et il en va de même pour $\sigma(b)$, donc on a :
$$\mathcal{N}_{L/K}(b)\left(\mathcal{N}_{L/K}(\sigma(b))\right)^{-1}=\mathcal{N}_{L/K}(b)\left(\mathcal{N}_{L/K}(b)\right)^{-1}=1$$

Pour l’implication directe, supposons $\mathrm{Gal}(L/K)=\langle\sigma\rangle$ et $[L:K]=n$, et soit $a\in L$ tel que $\mathcal{N}_{L/K}(a)=1$. Considérons l’application :
$$\varphi : x\longmapsto x +a\sigma(x) +a\sigma(a)\sigma^2(x)+\cdots+ a\sigma(a)\sigma^2(a)\cdots \sigma^{n-2}(a)\sigma^{n-1}(x)$$qui prend ses valeurs dans $L$. D’après le théorème d’indépendance des caractères, la fonction $\varphi$ est non nulle. Soit $\theta \in L$ tel que $b=\varphi(\theta)\neq 0$ ; on a alors :
$$a\sigma (b)= a\sigma(\theta)+a\sigma(a)\sigma^2(\theta)+\cdots + a\sigma(a)\cdots\sigma^{n-1}(a)\theta$$Par hypothèse, $a\sigma(a)\cdots\sigma^{n-1}(a)\theta=\theta$, donc $a\sigma(b)=b$, ce qui donne le résultat voulu.