Théorème de Cayley-Hamilton par l’analyse.

$\textbf{1.}$ Soit $k\in\N^*$. On commence par justifier l’existence de l’inverse. Notons $\lambda_1,...\lambda_n$ les valeurs propres de $A$. En trigonalisant $A$, on peut écrire que pour $t\in[0;2\pi]$, $\det(re^{it}I_n-A)=\displaystyle\prod_{j=1}^n re^{it}-\lambda_j$. Pour $r$ assez grand, le déterminant est non nul et donc l’inverse existe. On pose donc naturellement $R=1+\displaystyle\max_{\lambda\in\text{Sp}(A)}|\lambda|$.

L’idée ensuite est de faire apparaître une somme géométrique pour expliciter la valeur de l’inverse. On se donne une norme sous-multiplicative sur $M_{n}(\mathbb{C})$ (par exemple la norme d’opérateur), on la note $||.||$. Alors pour tout $M\in M_{n}(\mathbb{C})$, pour tout $k\in\N$, $||M^k||\leq ||M||^k$. Pour $r\geq R$, $0\leq||\frac{1}{r}A||<1$.

Donc
$$(re^{it}I_n-A)^{-1}=\frac{1}{r}e^{-it}(I_n-\frac{1}{r}e^{-it}A)^{-1}=\frac{1}{r}e^{-it}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{r^n}e^{-int}A^n$$

On réinjecte alors ce résultat dans l’intégrale puis on justifie l’interversion série/intégrale par de la CVN sur tout segment si bien que

$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} (re^{it})^{k}(re^{it}I_n-A)^{-1}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=0}^{+\infty}r^{k-1-n}A^n\int_{0}^{2\pi}e^{-it(k-1-n)}\mathrm{d}t$$

Or cette dernière intégrale vaut $2\pi$ si $k-1=n$ et $0$ sinon si bien que la somme ne contient que le terme en $n=k-1$. D’où
$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} (re^{it})^{k}(re^{it}I_n-A)^{-1}\mathrm{d}t=A^{k-1}$$

$\textbf{2.}$ On note $k=\deg(\chi_A)$ et $\chi_A=\displaystyle\sum_{j=0}^{k} a_jX^j$. Par application de la formule précédente on trouve :

$$2\pi\chi_A(A)=\sum_{j=0}^{k} a_j\int_{0}^{2\pi} r^{j+1}e^{i(j+1)t} \left(re^{it}I_n-A\right)^{-1}\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} re^{it} \left(re^{it}I_n-A\right)^{-1}\chi_A\left(re^{it}\right)\mathrm{d}t$$

Or $\left(re^{it}I_n-A\right)^{-1}\chi_A\left(re^{it}\right)=\text{Com}\left(re^{it}I_n-A\right)^{\top}$, cette dernière matrice a des coefs polynomial en $re^{it}$. Par définition de l’intégrale de vecteurs, on intègre donc coef par coef. On se ramène à calculer des intégrales de la forme : $\int_{0}^{2\pi} P_{k,l}\left(re^{it}\right)re^{it}$ où $P_{k,l}$ serait le polynôme de coef $(k,l)$ de la comatrice considérée.
Or $\int_{0}^{2\pi} e^{int}e^{it} \mathrm{d}t$ vaut $0$ sauf si $n=-1$. Donc les intégrales à calculer sont toutes nulles. D’où le théorème de Cayley-Hamilton.