Triangles dans le graphe aléatoire d’Erdös-Renyi

Soit un entier $n \geqslant 1$ et un réel $p_n \in \:]0,1[$. On se donne une famille $(X_{i,j})_{1 \leqslant i < j \leqslant n}$ de variables aléatoires i.i.d, chacune de loi de Bernoulli de paramètre $p_n$. On construit un graphe aléatoire $G_n$ (non-orienté, simple et sans boucle) d’ensemble de sommets $\llbracket 1,n \rrbracket$, tel qu’une arête $\{i,j\}$ soit présente dans $G_n$ si et seulement si $X_{i,j} = 1$.

1. On note $T_n$ le nombre de triangles présents dans $G_n$. Calculer $\mathbf{E}[T_n]$ et $\mathbf{E}[T_n(T_n-1)]$.
2. Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbf{N}$, proposer un encadrement de $\mathbf{P}[X \geqslant 1]$ faisant intervenir $\mathbf{E}[X]$ et $\mathbf{E}[X^2]$. En déduire, quand $n \to +\infty$, que :
   $$\mathbf{P}[T_n \geqslant 1] \to 0 \; \text{ si } \; p_n = o{\left( \frac{1}{n} \right)} \quad \text{et} \quad \mathbf{P}[T_n \geqslant 1] \to 1 \; \text{ si } \; \frac{1}{n} = o(p_n).$$
3. (Plus difficile) On suppose ici que $p_n = \lambda/n$ pour un certain réel $\lambda$. Montrer que $(T_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire de Poisson de paramètre $\lambda$. On pourra à cet effet appliquer une méthode des moments.