Un commutateur de rang 1

On va commencer par montrer que notre commutateur est bien une matrice nilpotente.

Puisque $\text{rg}(AB-BA)=1$, la dimension du noyau du commutateur est $n-1$. On sait donc que $0$ est valeur propre de multiplicité au moins $n-1$. Or, comme $\text{tr}(AB-BA)=0$, alors toutes les valeurs propres du commutateur sont nulles, i.e. $\chi_{AB-BA}=X^{n}$. Par théorème de Cayley-Hamilton, le commutateur est bien nilpotent.

Maintenant, on peut appliquer le théorème de Jordan sur la réduction des matrices nilpotentes. On rappelle la définition d’un bloc de Jordan nilpotent :

$$J:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & & \cdots &0&1\\ 0 && \cdots & &0 \end{pmatrix}$$Comme le commutateur est nilpotent, il existe des blocs de Jordan $J_{1},\dots,J_{r}$ tel que le commutateur soit similaire à la matrice

$$\begin{pmatrix} J_{1} & & & \\ & J_{2} & & \\ & & \ddots &\\ &&& J_{r} \end{pmatrix}$$

Or, comme le rang du commutateur vaut $1$, tous les blocs de Jordan sont de rang au plus $1$, i.e soit nuls soit égaux à
$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$Ainsi, lorsqu’on met au carré, par produit par blocs, on obtient la matrice nulle, d’où $(AB-BA)^2=0$.