Un commutateur de rang 1

Soit $u=AB-BA$. En accolant un vecteur de base de Im$(u)$ et une base de Ker$(u)$ on a une base $B$ dans laquelle tous les coefficients $a_{ij}$ de $M_B(u)$ sont nuls exceptés ceux de la première colonne.
De plus tr$(AB)$=tr$(BA)$ donc tr($u)=a_{{11}}=0$, Im$(u)$ est inclus dans Ker$(u)$, d’où $u^{2}=0$ :
$$(AB-BA)^{2}=0$$