Un équivalent naturel des plus compliqués

on vérifie que la suite (x_n) est strictement croissante et tend vers $+\infty$. On vérifie que $(\frac{e^{-x^{2}}}{2x})^{'} \sim -e^{-x^{2}}$ au voisinage de l’infini d’où par intégration de cet équivalent et car l’intégrale $\int_{0}^{+\infty} exp(-t^{2})dt$ est une intégrale convergente d’une fonction positive on a $\int_{x}^{+\infty} exp(-t^{2})dt \sim exp(-x^{2})/(2x)=:F(x)$ au voisinage de plus infini et donc on a l’equivalent $x_{n+1}-x_{n} \sim F(x_{n})$

en particulier on a la suite de terme général $x_{n+1}-x_n$ tend vers 0 et l’équivalent $x_{n+1}+x_{n}\sim 2x_n$

soit $g$ la fonction definie par $\forall x>0, g(x)=exp(x^{2})$
par l’inégalité des accroissements finis, quel que soit $n$, il existe $c_{n}\in ]x_n; x_{n+1}[$ tel que $g(x_{n+1})-g(x_{n})=(x_{n+1}-x_n)g'(c_n) \sim F(x_n)2c_n exp(c_n^{2})$

on va estimer $c_{n}^{2}-x_{n}^{2}$ afin de simplifier l’équivalent précédent.
on a $0\le c_{n}^{2}-x_{n}^{2} \le x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}=(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}+x_n) \sim 2F(x_n).x_n=o(1)$ d’où l’on déduit que la suite de terme général $exp(c_{n}^{2}-x_{n}^{2})$ converge vers 1.

par ailleurs, comme $x_{n+1}\sim x_{n}$ on a aussi $c_{n}\sim x_{n}$
Finalement on peut simplifier l’équivalent et
on a $g(x_{n+1})-g(x_{n})\sim 1$

la série $\sum\limits 1$ est une série à termes positifs et divergente et par théorème de sommation des sommes partielles d’une série divergente à termes positifs on a $g(x_{n})\sim n$ c’est à dire $exp(x_{n}^{2})=n(1+o(1))$ d’où en prenant le logarithme et car $\ln(1+h) \sim h$ au voisinage de 0, on a $x_{n}^{2}\sim \ln(n)$ d’où $x_{n} \sim \ln(n)^{1/2}$