Un jeu injuste

Alice et Bob sont deux dieux qui souhaitent jouer à un jeu. Comme ils sont tous les deux immortels et très forts en mathématiques, ils décident de jouer à un jeu un peu spécial.

Les deux dieux se fixent un ensemble $S\subset\R$ au préalable. Alice choisit un nombre $0<\alpha<1$ et Bob un nombre $0<\beta<1$. Ensuite, Bob choisit un segment $S_{1}$ de $\R$ et le passe à Alice. Elle choisit à son tour un segment $S_{2}\subset S_{1}$, vérifiant $\ell(S_{2})=\alpha\ell(S_{1})$, et le redonne à Bob. Il va alors, à son tour, choisir $S_{3}\subset S_{2}$ vérifiant $\ell(S_{3})=\beta\ell(S_{2})$. Les deux amis répètent ce procédé à l’infini, et créent donc une suite de segments imbriqués $(S_{n})_{n\in\N^{*}}$ de diamètre tendant vers $0$, de sorte que $\bigcap S_{n}$ soit un singleton. L’objectif d’Alice est que cet élément soit un réel appartement à $S$, et bien sûr celui de Bob est de l’empêcher.

Manque de bol pour Bob, Alice arrive toujours à gagner. Bob rejoue en prenant $0<\beta'<\beta$ pour essayer de gagner, en se disant qu’avec un peigne plus fin, il pourra empêcher Alice de tomber dans $S$. Après plusieurs parties perdues, et beaucoup de valeurs testées, il se rend compte qu’Alice pourra toujours gagner, qu’importe le réel $0<\beta<1$ qu’il choisit.

Alice commence alors à narguer Bob : elle décide de partir se balader dans une dimension parallèle pendant que Bob réfléchie à son prochain coup. Vexé, ce dernier en profité pour jouer 400 tours d’affilée avant qu’Alice revienne de sa balade. A chaque fois qu’Alice revient, elle joue son coup puis repart se balader dans une autre dimension. A chaque fois qu’elle repart, Bob joue ses 400 tours d’affilée, mais ne joue jamais plus que 400 puisqu’Alice revient toujours trop vite pour qu’il puisse jouer son 401ème tour.

1. Montrer qu’Alice va quand même finir par gagner contre Bob, même en lui accordant 400 tours de plus entre chaque tour.
2. Si Alice décide de partir pour de plus en plus longtemps, est-ce qu’elle réussira quand même par trouver une stratégie pour gagner contre Bob ?