Un logicien arrive en Enfer...

La stratégie est la suivante. Pour commencer, le logicien choisit une des deux enveloppes avec probabilité $1/2$. Notons $V$ le nombre qu’il voit.

Il tire ensuite un nombre réel $\omega \in \mathbb{R}$ au hasard (selon une loi de probabilité strictement positive sur $\mathbb{R}$ -- une loi gaussienne par exemple).

Enfin, il compare $V$ et $\omega$ : si $V \geq \omega$, il dit que son nombre est plus grand, et sinon, il dit qu’il est plus petit.

Pourquoi ça marche ? On note $a<b$ les nombres choisis par le diable. Donc $V=a$ ou $V=b$ avec probabilité $1/2$.

Trois cas peuvent se présenter :

• Soit $\omega<a$. Dans ce cas, on a toujours $\omega<V$, et le logicien va toujours dire que son nombre est plus grand. Si $V=a$, il perd, et si $V=b$, il gagne. Donc il va au paradis avec probabilité $1/2$ exactement.
• Soit $\omega\geq b$. Avec le même raisonnement, il va au paradis avec probabilité $1/2$.
• Soit $a\leq\omega<b$. Dans ce cas, si $V=a$, alors comme $V\leq\omega$, le logicien va dire que son nombre est plus petit, et va avoir raison, et si $V=b$, alors $V>\omega$, le logicien va dire que son nombre est plus grand, et va encore avoir raison. Dans les deux cas, le logicien gagne.

Ainsi, si on note $p>0$ la probabilité que le logicien choisisse $\omega$ dans l’intervalle $[a,b]$, le logicien va au paradis avec probabilité

$$(1-p)\frac{1}{2}+p = \frac{1}{2}+\frac{p}{2} > \frac{1}{2}.$$