Un rectangle de taille

Soit $A : \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par $A(x,y) = xy$. L’objectif est d’optimiser $A$ sur l’ensemble $D$ des points $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ tels que $x+y = l$. Comme $D$ se paramétrise par $\gamma : t \mapsto (t,l-t)$, il suffit d’optimiser la fonction $A \circ \gamma$ sur $]0,l[$.

Comme $(A \circ \gamma)(t) = t(t-l) = t^{2}-tl$, $A \circ \gamma$ est dérivable. Comme on cherche à otpimiser $A \circ \gamma$ sur un intervalle ouvert, s’il existe un extremum, il est atteint en un point critique, et il suffit alors de dériver $A \circ \gamma$ et de trouver les points critiques (s’il y en a) pour déterminer les potentiels extrema. On voit que $(A \circ \gamma)'(t) = 2t - l$, ainsi $A \circ \gamma$ n’a qu’un seul point critique qui est $t = l/2$. Comme la dérivée s’annule et change de signe en passant de $\textbf{positif}$ à $\textbf{négatif}$, on déduit que $l/2$ est un maximum.

En calculant, $(A \circ \gamma)(l/2) = A(l/2,l/2) = l^{2}/4$.