Une addition facile

Calculons d’abord : $2\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k$.
$2\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k = \displaystyle\sum_{k=0}^{3}k + \displaystyle\sum_{k=0}^{3}k$
Or, par un habile changement de variable exploitant la symétrie : $\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k = \displaystyle\sum_{k=0}^{3}(3-k)$
Donc $2\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k = \displaystyle\sum_{k=0}^{3}k + \displaystyle\sum_{k=0}^{3}(3-k) = \displaystyle\sum_{k=0}^{3}(k + 3 - k)=\displaystyle\sum_{k=0}^{3}3$
Et $\displaystyle\sum_{k=0}^{3}3 = 3\times(3+1)$ car il y a $3+1=4$ termes dans la somme $(k=0,1,2,3)$.
On a alors $2\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k =3\times(3+1)$

Puis en divisant par 2, on a : $\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k = \frac{3\times(3+1)}{2}$

Et finalement : $\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k = 1+2+3 = {3\times(3+1) \over 2}= {3\times4 \over 2} = {3 \times 2 \times 2 \over 2}= 3 \times 2 = 6$.

Une autre solution plus directe et audacieuse consisterait à calculer d’abord $(1+2)$ avant d’ajouter le résultat de cette somme à $3$, de sorte à calculer $((1+2)+3)$. Nous laisserons aux lecteurs les plus téméraires l’exercice de cette autre méthode.