Une base de matrices inversibles

$\mathcal{B} = \{ I_n \} \cup \{ I_n + E_{ii} \mid 2 \le i \le n \} \cup \{ I_n + E_{ij} \mid 1 \le i, j \le n, i \neq j \}$ convient.

En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés. Par conséquent, $\operatorname{Vect}(GL_n(\mathbb{R})) = \overline{\operatorname{Vect}(GL_n(\mathbb{R}))}$ qui contient $\overline{GL_{n}(\mathbb{R})}$ (l’adhérence est croissante pour l’inclusion et une partie est incluse dans l’espace qu’elle engendre) qui est $M_{n}(\mathbb{R})$. Ainsi, $\operatorname{Vect}(GL_{n}(\mathbb{R}))=M_{n}(\mathbb{R})$, c’est-à-dire que $M_{n}(\mathbb{R})$ possède une base de matrices inversibles car, d’après le théorème de la base extraite, une partie génératrice contient une base.