Une caractérisation de la nilpotence

On commence par trigonaliser A dans $M_{n}({\mathbb{C}})$. Alors A ~
$${\begin{pmatrix} \lambda_{1} & && &\\ 0 & \lambda_{2}& *&& \\ \vdots & \vdots &\ddots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}\\ \end{pmatrix} }$$avec $(\lambda_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}) \text{ (supposées)} \in {(\mathbb{C}^{*})^{\mathbb{N}}}$ les valeurs propres comptés avec multiplicitées : $(m_{i})_{i\in [\![1,n]\!]} \in (\mathbb{N^{*}})^{\mathbb{N}}.$ Ainsi, d’après l’énoncé, $\forall k \in [\![1,n]\!], \sum_{i=0}^{n} \lambda_i^k.m_i=0 \Rightarrow$
$$\underbrace{ {\begin{pmatrix} \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{n}\\ \lambda_{1}^{2}& \lambda_{2}^{2} &\cdots & \lambda_{n}^{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{1}^{n} & \lambda_{2}^{n}& \cdots & \lambda_{n}^{n}\\ \end{pmatrix} } }_{\Lambda}.{\begin{pmatrix} m_{1}\\m_{2}\\ \vdots \\m_{n} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\0 \end{pmatrix}}$$

Donc, $(m_{i})_{i \in [\![1,n]\!]} \in \ker(\Lambda)$. Or, $\det(\Lambda)=\prod_{i=0}^{n} \lambda_{i}$.$\underbrace{V(\lambda_1 ,\lambda_2 ,...,\lambda_n)}_{Vandermonde} = \lambda_{1}.\lambda_{2}. \dots .\lambda_{n}\prod_{1\le i< j \le n}(\lambda_{j}-\lambda{i})$. Or, par hypothèse, $\forall (i,j) \in \mathbb{N}^{2}, i\neq j \Rightarrow \lambda_{i} \neq \lambda_{j} \text{ et } \forall i \in \mathbb{N^{*}}, \lambda_{i} \neq 0$. Donc $\det(\Lambda) \neq 0$. Alors, $(m_i)_{i\in [\![1,n]\!]}=0_{M_{n,1}(\mathbb{C})}$ ce qui est absurde. Donc, au moins l’un des $\lambda_i$ est nul. Puis on itère le procédé sur les n-1 valeurs propres restantes jusqu’a trouver : $\forall i \in \mathbb{N^{*}}, \lambda_{i}=0 \text{. Donc, } \chi_{A}(X)=X^{n} \text{. Alors, par le théorème de Cayley-Hamilton, } A^{n} =0_{M_{n}(\mathbb{C})} \text{ : A est nilpotente.}$