Au pays des espaces de Banach séparables : épisode 1

$(\Rightarrow)$ Supposons que $X$ est séparable. On note $B$ la boule unité fermée de $X$ et $B^{*}$ la boule unité fermée de son dual. Soit $(x_n)_n$ une suite dense dans $B$, et soit $d : B^{*} \times B^{*} \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par $d(f,g) = \sum_{n \geq 0}2^{-n}\lvert f(x_{n}) - g(x_{n})\rvert$. Montrons que $d$ est une métrique qui induit la topologie préfaible sur $B^{*}$ :

• D’une part, $d$ est bien définie pour tout $(f,g) \in B^{*}$ puisque pour tout $n$, $\lvert f(x_{n}) \rvert \leq \lvert x_{n}\rvert = 1$.

• Ensuite, si $d(f,g) = 0$, cela signifie que la forme liénaire continue $f-g$ est nulle sur une partie dense de $B$, elle est donc nulle sur $B$, et nulle sur $X$. Ainsi, $f = g$. On montre aisément que $d$ satisfait les autres axiomes d’une métrique.

• Si $x \in X$, on note $\pi_{x}$ l’application $B^{*} \longrightarrow \mathbb{R}$ définie par $\pi_{x}(f) = f(x)$. Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}$ et $W = \pi^{-1}_{x}(U)$. Soit $f \in W$ et soit $\varepsilon > 0$. Soit $g \in B^{*}$ telle que $d(f,g) < \varepsilon$. Pour tout $n$,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\lvert f(x) - g(x) \rvert \leq \lvert f(x) - f(x_{n}) \rvert + \lvert f(x_{n}) - g(x_{n}) \rvert + \lvert g(x_{n}) - g(x) \rvert$,

Et ainsi, $\lvert f(x) - g(x) \rvert \leq 2\lVert x - x_{ n}\rVert + \lvert f(x_{n}) - g(x_{n}) \rvert$. Soit $\delta > 0$ tel que $B(f(x),\delta) \subset U$. On choisit $x_{n}$ tel que $\lVert x - x_{n} \rVert < \delta/3$. En choisissant $\varepsilon < \delta 2^{-n}/3$, on trouve que $\lvert f(x) - g(x) \rvert < \delta$, ce qui assure que $g(x) \in U$. On déduit que tout ouvert préfaible est un $d$-ouvert.

• Si ensuite $f \in B^{*}$ et $\varepsilon >0$, on pose $B = B_{d}(f,\varepsilon)$. Soit $N \geq 1$ tel que $\sum_{n \geq N} 2^{-n+1} < \varepsilon/2$. Si pour tout $n < N$, $\lvert f(x_{n}) - g(x_{n}) \rvert < \varepsilon/4$, alors $d(f,g) = \sum_{0 \leq n < N} 2^{-n}\lvert f(x_{n}) - g(x_{n}) \rvert + \sum_{n \geq N}2^{-n} \lvert f(x_{n}) - g(x_{n}) \rvert$, ainsi $d(f,g) < \varepsilon$. On déduit que tout $d$-ouvert est un ouvert préfaible.

$(\Leftarrow)$ Supposons que $B^{*}$ est préfaiblement métrisable. En combinaison avec le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki, $(B^{*}, \sigma(X^{*},X))$ est un compact métrisable. On note $K \stackrel{\mathrm{def}}{=} (B^{*}, \sigma(X^{*},X))$ Par le théorème de Hahn-Banach, l’application $X \longrightarrow \mathcal{C}(K)$ $x \mapsto (f \mapsto f(x))$ est une isométrie. Ainsi, $X$ est isométrique à un sous-espace de $\mathcal{C}(K)$ qui est séparable, ainsi $X$ est séparable.