Une combinaison linéaire douteuse !

Par l’absurde, on suppose que $g$ est une combinaison linéaire des fonctions $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$ et $f_{4}$. Dans ce cas il existe $(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4})\in\R^{4}$ tel que pour tout $x\in\R$,

$\exp(-1/x^{2}) = \lambda_{1}x^{2}\exp(-x^{2})+\lambda_{2}\exp(-x^{2})+\lambda_{3}x\exp(x)+\lambda_{4}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\arctan(x)^{2}$.

$\bullet$ On prend la limite en $x = 0$.
La limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $0$ est nulle. Et $f_{1}(0) = f_{3}(0) = f_{4}(0) = 0$, $f_{2}(0) = 1$ donc l’égalité devient : $\lambda_{2} = 0$. On obtient pour tout $x\in\R$,

$\exp(-1/x^{2}) = \lambda_{1}x^{2}\exp(-x^{2})+\lambda_{3}x\exp(x)+\lambda_{4}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\arctan(x)^{2}$.

$\bullet$ On prend la limite lorsque $x\rightarrow +\infty$.
La limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est égal à $1$. De plus, par croissance comparée on a que la limite de $f_{1}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est nulle. Enfin les limites de $f_{3}$ et $f_{4}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ sont respectivement $+\infty$ et $1$. On observe que seule la limite de $f_{3}$ est infinie. Donc si $\lambda_{3}\neq 0$ alors on arrive à une absurdité. On conclut que $\lambda_{3} = 0$. Ainsi dans l’égalité on obtient $\lambda_{4} = 1$ et $\forall x\in\R$,

$\exp(-1/x^{2}) = \lambda_{1}x^{2}\exp(-x^{2})+\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\arctan(x)^{2}\implies\frac{1}{x^{2}}\exp(-1/x^{2}) = \lambda_{1}\exp(-x^{2})+\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\frac{\arctan(x)^{2}}{x^{2}}$.

$\bullet$ On divise par $x^{2}$ et on passe à la limite $x\rightarrow 0$.
Or la limite lorsque $x$ tend vers $0$ de $\frac{1}{x^{2}}\exp(-1/x^{2})$ est nulle. Et il est bien connu que la limite lorsque $x$ tend vers $0$ de $\frac{\arctan(x)^{2}}{x^{2}}$ est $1$ (il suffit de montrer l’équivalence $\arctan(x)\sim x$). Cela donne l’égalité $0 = \lambda_{1}+\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}$, en particulier $\lambda_{1}<0$.

Or en substituant $x=1$ on obtient $\exp(-1) = \lambda_{1}\exp(-1)+\frac{1}{4}$, c’est-à-dire $\lambda_{1} = 1-\frac{1}{4}e$. Donc la quantité $\lambda_{1}$ est positive puisque $e\leq 3$. En effet, pour tout entier $k\geq 1$,
$k! = 1\times 2\times 3\times\ldots\times k \geq 1\times 2\times 2\times\ldots\times 2 = 2^{k-1}$, et par définition du nombre $e$ on a
$e = 1+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\leq 1+\sum_{k=1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=3$.

La quantité $\lambda_{1}$ ne peut pas être à la fois positive et strictement négative donc $g$ n’est pas une combinaison linéaire de $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$ et $f_{4}$. (Tout cela sans utiliser de résultat de transcendance ou d’indépendance algébrique sur $\pi$ ou $e$)