Une dérivée seconde de carré intégrable ?

Preuve pour la limite de $f$

On s’inspire pour cette preuve d’une preuve classique de $f$ et $f''$ bornées sur $\R$ pour obtenir une estimation de la norme infinie de $f'$.
D’après la formule de Taylor avec reste intégral on a $\forall x\in \R, \forall h\in \R^{+}, f(x+h)-f(x)=hf'(x)+R_{1}$ et $f(x-h)-f(x)=-hf'(x)+R_{2}$,
d’où en sommant :
$2f(x)=f(x+h)+f(x-h)-R_{1}-R_{2}$.

Avec Cauchy-Schwarz on estime $R_1$ et $R_2$, on obtient une estimation $R_{1} \leqslant Ch^{3/2}$ où $C^{2}=\int_{\R}f''^{{2}}$, et idem pour $R_2$.

Ainsi $2|f(x)|\leqslant |f(x+h)|+|f(x-h)|+2Ch^{3/2}$ (1).
Soit alors $a>0$.
On intègre l’inégalité (1) entre $a$ et $2a$, d’où après majoration $2a|f(x)|\leqslant \displaystyle\int_{x-2a}^{x+2a}|f(t)|dt+C'a^{5/2}$ .
Soit alors $\varepsilon>0$ et soit $a$ assez petit de sorte que $C'a^{3/2}<\varepsilon$.
$a$ est désormais fixé.
Par hypothèse d’intégrabilité de $f$, l’intégrale du second membre tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$, donc est inférieure à $\varepsilon$ pour $x$ assez grand, ce qui achève la preuve.

Preuve pour la limite de $f'$

Comme $f$ est continue et tend vers 0 en $+\infty$, $f$ est bornée.
La formule de Taylor avec reste intégral de $x$ à $x+h$ donne alors en utilisant la même notation de $R_1$ donnée plus haut une estimation du type $\forall x>0, \forall h>0, |hf'(x)|\leqslant 2||f||_{\infty}+|R_{1}|$, et d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a $|R_{1}|\leqslant \frac{h^{3/2}}{\sqrt 3}g(x)$ où $g(x):=[\int_{x}^{+\infty}|f''|^{2}(t)\diff t]^{1/2}$.

NB : cette estimation est plus fine que celle utilisée plus haut pour la limite de $f$ où on avait majoré $g$ par $g(0)$.

Puis en minimisant cette fonction en $h$, on obtient une estimation du type $\forall x, |f'(x)|\leqslant K ||f||_{\infty}^{1/3}g(x)^{2/3}$ où $K$ est une constante universelle et comme $g$ tend vers 0 à l’infini par hypothèse, on conclut.