Une dérivée seconde de carré intégrable ?

Preuve pour la limite de f. On s’inspire pour cette preuve d’une preuve classique de f et f'' bornées sur $\R$ pour obtenir une estimation de la norme infinie de f'. D’après la formule de Taylor avec reste intégral on a $\forall x\in \R, \forall h\in \R^{+}, f(x+h)-f(x)=hf'(x)+R1$ et $f(x-h)-f(x)=-hf'(x)+R2$ d’où en sommant $2f(x)=f(x+h)+f(x-h)-R1-R2$ Avec Cauchy Schwarz on estime R1 et R2, on obtient une estimation $R1 \le Ch^{3/2}$ où $C^{2}=\int_{\R}f''^{{2}}$ idem pour R2. ainsi $2|f(x)|\le |f(x+h)|+|f(x-h)|+2Ch^{3/2}$ (1) soit alors $a>0$. On intègre l’inégalité (1) entre a et 2a d’où après majoration $2a|f(x)|\le \int_{x-2a}^{x+2a}|f(t)|dt+C'a^{5/2}$ soit alors $\epsilon>0$ et soit $a$ assez petit de sorte que $C'a^{3/2}<\epsilon$. $a$ est désormais fixé. Par hypothèse d’intégrabilite de $f$ l’intégrale du second membre tend vers 0 lorsque x tend vers $+\infty$ donc est inférieure à $\epsilon$ pour $x$ assez grand ce qui achève la preuve. Preuve pour la limite de f'. Comme f est continue et tend vers 0 en $+\infty$, $f$ est bornée. La formule de Taylor avec reste intégral de x à x+h, donne alors en utilisant la même notation de R1 donnée plus haut une estimation du type $\forall x>0, \forall h>0, |hf'(x)|\le 2||f||_{\infty}+|R1|$ et d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a $|R1|\le \frac{h^{3/2}}{\sqrt 3}g(x)$ où $g(x):=[\int_{x}^{+\infty}|f''|^{2}(x)dx]^{1/2}$. NB cette estimation est plus fine que celle utilisée plus haut pour la limite de f où on avaot majorer g par g(0). Puis en minimisant cette fonction en h, on obtient une estimation du type $\forall x, |f'(x)|\le C ||f||_{\infty}^{1/3}g(x)^{2/3}$ où $C$ est une constante universelle et comme g tend vers 0 à l’infini par hypothèse on conclut.