Une équation matricielle

Supposons l’existence d’une telle matrice. Comme le polynôme caractéristique de $A$ est un polynôme réel de degré impair, il possède nécessairement une valeur propre réelle. Soit alors $t$ une valeur propre réelle de A. Donc $-t^{2}-1$ est une valeur propre de $-A^{2}-I_{3}=A^{T}$ donc de $A$ car $A$ et $A^{T}$ possèdent le même spectre (réel et complexe). Ainsi, par récurrence, tous les termes de la suite définie par récurrence par $a_{0}=t, a_{n+1}=-a_{n}^{2}-1=a_{n}-P(a_n)$ où $P=1+X+X^{2}$ sont dans le spectre (réel et complexe) de $A$. Mais cette suite est strictement décroissante (car $\forall n, a_{n+1}-a_{n}=-P(a_n)$, et $\forall x\in \R, P(x)=(x+1/2)^{2}+3/4\ge 3/4>0$) donc $A$ possède une infinité de valeurs propres distinctes. Contradiction.

::: conclusion : pas de solution.

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