Une équation matricielle

Supposons avoir une matrice solution de ce problème.
Décomposons $A=B+C$ avec $B$ symétrique, $C$ antisymétrique, et $BC=-CB$ (c’est la décomposition classique d’une matrice quelconque, car $B=\dfrac{1}{2}\left(A+^{T}A\right)$ et $C=\dfrac{1}{2}\left(A-^{T}A\right)$).
La relation devient
$$B^2 +C^2 +B -C =-I$$En identifiant les parties symétriques et antisymétriques, on obtient deux relations :
(1)Sur la partie antisymétrique, on obtient directement C=0 ($C^{2}$ est une matrice symétrique)
(2)Sur la partie symétrique combinée au point précédent, on obtient $B^{2}+B=-I$
B étant symétrique, d’après le théorème spectral on peut écrire $B=PD^{T}P$ avec $D$ diagonale réelle et $P$ orthogonale. En multipliant la relation par $^TP$ à gauche et $P$ à droite, on obtient $D^{2}+D+I=0$. Mais alors les éléments diagonaux de $D$ appartiennent à $\left\lbrace j \; ; \; j^{2} \right\rbrace$, qui ne sont pas des nombres réels.

Conclusion : l’équation proposée n’a aucune solution, $\underline{\text{et ce, quelle que soit la taille de l'espace des matrices carrées.}}$