Une fonction très surjective

Considérons le groupe quotient $\mathbb R/\mathbb Q$, ainsi que l’application de projection $p:\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Q$ :

On a $|\mathbb R|=|\mathbb Q \times \mathbb R/\mathbb Q|=|\mathbb R/\mathbb Q|$, la seconde égalité suivant du fait que $\mathbb Q$ est dénombrable et $\mathbb R/\mathbb Q$ est infini.
Il existe donc une bijection $g:\mathbb R/\mathbb Q\to\mathbb R$. On définit alors $f:\mathbb R\to\mathbb R$ par $f(x)=g(p(x))$ pour tout $x\in\mathbb R$.

Pour tout ouvert $U$ et chaque $y\in\mathbb R$, étant donné que la classe latérale $g^{-1}(y)+\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$, on peut trouver un $u\in U\cap (g^{-1}(y)+\mathbb Q)$ et donc $f(u)=y$, ce qu’il fallait démontrer.