Une inégalité sur des matrices symétriques

Même début que la preuve de Sequoia :

Dans toute la suite, les sommes seront indexées sur $[\![1,n]\!]$.
La trace d’une matrice est égale à la somme de ses coefficients diagonaux, soit $\mathrm{Tr}(A)=\sum_i a_{i,i}$. Mais $A$ est symétrie réelle donc diagonalisable, ainsi sa trace, invariant de similitude, est aussi égale à la somme de ses valeurs propres, soit $\mathrm{Tr}(A)=\sum_i \lambda_i$.

En notant que $\sum_{i>j}x_ix_j=\frac12\left( \left(\sum_i x_i\right)]^2-\sum_ix_i^2\right)$, on peut réécrire l’inégalité de l’énoncé sous la forme:
$$\sum_i a_{i,i}^2\leqslant \sum_i\lambda_i^2$$On peut diagonaliser $A$ en $PDP^T$ par le théorème spectral, où $P$ est orthogonale.

On remarque ensuite que multiplier par une matrice orthogonale à droite ou à gauche ne change pas la norme euclidienne.

Il reste à écrire :

$\sum_{i} a_{ii}^2 \le \sum_{i,j} a_{ij}^2 = \|A\|_2^2 = \|O D O^T\|_2^2 = \|D\|_2^2 = \sum_{i} \lambda_i^2$

Ce qui conclut.

On remarque qu’on a ainsi gratuitement le cas d’égalité (A diagonale).