Une intégrale pas sympa

NB : Je ne donne pas une solution détaillée.

J’admets le résultat suivant dit ''théorème de Frullani'' (version avec hypothèse affaiblie dite ''Cesàro'') :

::: Énoncé : soit $f$ continue (par morceaux) sur $[0;\infty[$, telle que l’intégrale $I:=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx$, où $a,b$ strictement supérieurs à$0$, converge comme intégrale généralisée au sens de Riemann et possédant une limite à l’infini au sens de Cesàro (ie $1/T \int_{0}^{T} f(x) dx$ converge vers une limite $L$ lorsque $T$ tend vers l’infini), alors $I=(f(0)-L)\ln(b/a)$ (si $f$ est continue par morceaux on remplace $f(0)$ par $f(0+)$).

La preuve se démontre comme avec l’énoncé habituel qui est donné avec l’hypothèse suivante : $f(x)$ tend vers $L$ lorsque $x$ tend vers l’infini. On peut la trouver sur Internet et la reprendre en constatant qu’une limite au sens de Cesàro suffit.

Application. On vérifie (en particulier la convergence de l’intégrale au voisinage de l’infini) que la fonction cosinus vérifie ces hypothèses $\forall a,b>0, \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(ax)-\cos(bx)}{x}dx=\ln(b/a) (1)$

:::

Revenons à l’énoncé. Soit $J$ l’intégrale de l’énoncé. Je donne juste les étapes.

1. On montre la convergence de l’intégrale
2. Une IPP et un passage à la limite donnent $J=3\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2(x)\cos(x)}{x}dx$
3. On linéarise la fonction intégrée ce qui donne $J=3/4 \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(x)-\cos(3x)}{x}dx$
4. D’après (1), $J=3/4\ln(3)$