Valeurs rationelles de $\cos(r\pi)$

Soit $r=p/q\in\mathbb{Q}$ tel que $x=\cos(r\pi)\in\mathbb{Q}$. L’identité $2\cos\big((n+1)\theta\big)=(2\cos\theta)(2\cos n\theta)-2\cos\big((n-1)\theta\big)$ définit une suite de polynômes $(P_n)$ tels que $2\cos(n\theta)=P_n(2\cos\theta)$ (on adapte les polynômes de Tchebychev). Ainsi $P_{n}$ est à coefficients entiers et est unitaire. Donc $2x$ est un entier algébrique rationnel. C’est donc un entier. Or $2x\in[-2,2]$, donc $2x\in\{-2,-1,0,1,2\}$ et $\cos(r\pi)\in\{-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1\}$. Et donc $r$ appartient à $\frac{1}{3}\mathbb{Z}\cup\left(\frac{1}{2}+\mathbb{Z}\right)$.