Valeurs rationelles de $\cos(r\pi)$

$r=0, 1, 1/2$ conviennent et la fonction $x$ donne $\cos(\pi x)$ est paire et 1- périodique. On peut donc supposer que $r\in]0;1[$, puis, comme si $r$ convient $1-r$ convient, on peut supposer que $r\in I:=]0;1/2[$ On écrit $r:=p/q$ avec $p,q$ entiers naturels non nuls. On note $x:=\cos(\pi r)$ et cherche donc les $r\in I$ tels que $x\in \Q$ et $x\in J:=]0;1[$
Les racines dans $\C$ de l’équation $X^{2q}-1=0$ sont des entiers algébriques, donc la somme de deux quelconques de ces racines est un entier algébrique (l’ensemble des entiers algèbriques possède une structure d’anneau) en particulier $2cos(2\pi p/2q)=2x$ est un entier algébrique. On rappelle qu’un nombre rationnel qui est un entier algébrique est un entier relatif. Donc $2x$ est un entier relatif et comme c’est le double d’un certain cosinus c’est un entier de valeur absolue inférieure ou égale à 2. Ainsi $2x$ appartient à $[|-2;2|]$ et comme par ailleurs $x\in J$ on a nécessairement $x=1/2$ d’où $r=1/3$. On vérifie que $1/3$ convient et donc c’est le seul rationnel qui convient dans $I$. Dans $]-1;1[$ l’ensemble des rationnels qui conviennent est $\{0;1/3;1/2; 2/3;-1/3;-1/2;-2/3\}$, par symétries $r$ donne $1-r$ et $r$ donne $-r$ et car $0$ et $1/2$ conviennent. Puis par 1-périodicité l’ensemble des rationnels $r$ recherchés est $1/3\Z\cup 1/2\Z$.