Valeurs rationnelles de $\tan⁡(r\pi)$

cas 1: tan(rPi)=1

On regarde le cercle trigonométrique
cos(Pi/4)=sin(Pi/4)
cos(Pi+Pi/4)=sin(Pi+Pi/4)

d’où cos(k.Pi+Pi/4)=sin(k.Pi+Pi/4) pour tous k entiers relatifs

rPi=k.Pi+Pi/4 ==> r=k+1/4

cas 2: tan(rPi)=0

On regarde le cercle trigonométrique
cos(0)=1 et sin(0)=0
cos(Pi)=-1 et sin(Pi)=0

d’où cos(k.Pi)=sin(k.Pi) pour tous k entiers relatifs

rPi=k.Pi ==> r=k

cas 3: tan(rPi)=-1

On regarde le cercle trigonométrique
cos(-Pi/4)=-sin(-Pi/4)
cos(Pi-Pi/4)=-sin(Pi-Pi/4)

d’où cos(k.Pi-Pi/4)=-sin(k.Pi-Pi/4) pour tous k entiers relatifs

rPi=k.Pi-Pi/4 ==> r=k-1/4

NB: on voit pour les cas 1 et cas 3, on peut les fusionner en 1/4+k/2

Conclusion:
r={k,1/4+k/2} pour tous k entiers relatifs