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##### Définition intuitive
Dans $\mathbb{Q}$, les entiers se reconnaissent facilement, mais que devient cette notion dans un corps plus grand comme $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ ou $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ ? Un élément mérite le nom d'entier s'il annule un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb{Z}$. L'anneau des entiers d'un corps de nombres est l'ensemble de tous ces éléments, et le fait qu'il forme un anneau n'a rien d'évident.

##### Définition formelle
Soit $K$ un *corps de nombres*, c'est-à-dire une extension de $\mathbb{Q}$ de degré fini $n=[K:\mathbb{Q}]$. Un élément $\alpha\in K$ est *entier sur $\mathbb{Z}$* s'il existe un polynôme unitaire $P\in\mathbb{Z}[X]$ tel que $P(\alpha)=0$. L'*anneau des entiers* de $K$ est
$$\mathcal{O}_K=\{\alpha\in K\ :\ \alpha \text{ est entier sur } \mathbb{Z}\}.$$

##### Exemples

1. **$K=\mathbb{Q}$.** On retrouve $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}$ : un rationnel $p/q$ écrit sous forme réduite et annulant un polynôme unitaire entier vérifie $q\mid 1$. C'est le lemme des racines rationnelles.
2. **Corps quadratiques.** Pour $K=\mathbb{Q}(\sqrt d)$ avec $d$ sans facteur carré,
$$\mathcal{O}_K=\begin{cases}\mathbb{Z}\bigl[\tfrac{1+\sqrt d}{2}\bigr] & \text{si } d\equiv 1 \pmod 4,\\[2pt] \mathbb{Z}[\sqrt d] & \text{si } d\equiv 2,3 \pmod 4.\end{cases}$$
3. **Entiers de Gauss.** $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\mathrm{i})}=\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$.
4. **Entiers d'Eisenstein.** $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}=\mathbb{Z}[j]$ avec $j=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$.
5. **Corps cyclotomiques.** $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_n)}=\mathbb{Z}[\zeta_n]$ pour tout $n$, avec $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\varphi(n)$.