anneau des entiers

Définition intuitive

Dans $\mathbb{Q}$, les entiers se reconnaissent facilement, mais que devient cette notion dans un corps plus grand comme $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ ou $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ ? Un élément mérite le nom d’entier s’il annule un polynôme unitaire à coefficients dans $\mathbb{Z}$. L’anneau des entiers d’un corps de nombres est l’ensemble de tous ces éléments, et le fait qu’il forme un anneau n’a rien d’évident.

Définition formelle

Soit $K$ un corps de nombres, c’est-à-dire une extension de $\mathbb{Q}$ de degré fini $n=[K:\mathbb{Q}]$. Un élément $\alpha\in K$ est entier sur $\mathbb{Z}$ s’il existe un polynôme unitaire $P\in\mathbb{Z}[X]$ tel que $P(\alpha)=0$. L'anneau des entiers de $K$ est
$$\mathcal{O}_K=\{\alpha\in K\ :\ \alpha \text{ est entier sur } \mathbb{Z}\}.$$

Exemples

1. $K=\mathbb{Q}$. On retrouve $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}$ : un rationnel $p/q$ écrit sous forme réduite et annulant un polynôme unitaire entier vérifie $q\mid 1$. C’est le lemme des racines rationnelles.
2. Corps quadratiques. Pour $K=\mathbb{Q}(\sqrt d)$ avec $d$ sans facteur carré,
   $$\mathcal{O}_K=\begin{cases}\mathbb{Z}\bigl[\tfrac{1+\sqrt d}{2}\bigr] & \text{si } d\equiv 1 \pmod 4,\\[2pt] \mathbb{Z}[\sqrt d] & \text{si } d\equiv 2,3 \pmod 4.\end{cases}$$
3. Entiers de Gauss. $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\mathrm{i})}=\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$.
4. Entiers d’Eisenstein. $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}=\mathbb{Z}[j]$ avec $j=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$.
5. Corps cyclotomiques. $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_n)}=\mathbb{Z}[\zeta_n]$ pour tout $n$, avec $[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\varphi(n)$.