La restriction cristallographique en toute dimension

Pour $n\geqslant 1$, on pose
$$\psi(n)=\operatorname{ppcm}\bigl\{\,d\geqslant 1\ :\ \varphi(d)\leqslant n\,\bigr\},$$où $\varphi$ désigne l'indicatrice d’Euler. On note $\Phi_d\in\mathbb{Z}[X]$ le $d$-ième polynôme cyclotomique, et l’on admettra son irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ ainsi que la factorisation $X^{m}-1=\prod_{d\mid m}\Phi_d$.

1. Justifier que l’ensemble $\{d\geqslant 1 : \varphi(d)\leqslant n\}$ est fini, de sorte que $\psi(n)$ est bien défini. Calculer $\psi(1)$, $\psi(2)$, $\psi(3)$ et $\psi(4)$.

2. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ telle que $M^{m}=I_n$ pour un certain entier $m\geqslant 1$. Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ et que ses valeurs propres sont des racines de l’unité.

3. Montrer que le polynôme minimal de $M$ s’écrit $\mu_M=\prod_{d\in S}\Phi_d$ pour une partie finie $S\subseteq\mathbb{N}^{*}$, et en déduire que $\varphi(d)\leqslant n$ pour tout $d\in S$.

4. En déduire que toute matrice $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ d'ordre fini vérifie
$$M^{\psi(n)}=I_n.$$

5. (Optimalité.) Soit $d$ tel que $\varphi(d)\leqslant n$. En considérant la matrice compagnon de $\Phi_d$, construire un élément de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ d’ordre exactement $d$. Conclure que $\psi(n)$ est le plus petit exposant possible, c’est-à-dire le ppcm des ordres effectivement réalisés.

6. Expliquer pourquoi $\psi(2k)=\psi(2k+1)$ pour tout $k\geqslant 1$. Établir la formule
$$\psi(n)=\prod_{p\ \text{premier}}p^{\,\nu_p(n)},\qquad \nu_p(n)=\max\bigl\{a\geqslant 0\ :\ p^{a-1}(p-1)\leqslant n\bigr\}.$$

7. (Application.) Déterminer tous les ordres possibles d’une matrice d’ordre fini de $\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$. En déduire qu’un réseau du plan ne peut admettre de symétrie d’ordre $5$ : c’est la restriction cristallographique, qui interdit les pavages périodiques à symétrie pentagonale.

8. (Critère effectif en dimension 2.) Montrer que $M\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ est d’ordre fini si et seulement si $\det M=\pm 1$ et $\operatorname{tr}M\in\{-2,-1,0,1,2\}$.

9. (Extensions.) Que devient l’énoncé de la question 4 si l’on remplace $\mathbb{Z}$ par $\mathbb{Q}$ ? par l'anneau des entiers $\mathcal{O}_K$ d’un corps de nombres de degré $r$ ? par $\mathbb{C}$ ?

10. (Contre-exemple.) Montrer que l’hypothèse « d’ordre fini » ne peut pas être affaiblie en « toutes les valeurs propres sont de module $1$ ».